5、为了对控制做出评价,需要一套函数作为评价指标:J(t)=∑∞k=0kγU(t+k)=U(t)+Jγ(t+1)(2)其中U(t)=U[R(t),A(t),t]用以对每步控制进行评价,称为效用函数.J(t)函数表示了从此刻开始的每步效用函数值的累积,称为费用函数

自从冯 ·诺依曼、摩根斯坦提出预期效用理论(Von Neumann ,Morganstein , 1944)以来 ,由于其公理表达简单而且规范 ,效用函数容量计算并且形式上较好地体现人们的风险行为类型(比如对风险的态度和程度可用效用函数的凸凹性及 Arrow-Pratt 测度来表示)等特征 , 不确定经济学的理论和应用研究一直是在此基本框架下进行的 .现代博弈论也是在此基础上发展起来的.然而 , 预期效用理论中起关键作用的独立性公理假设并不总是成立, 著名的 Allais悖论说明在某些情况下人们会系统地违反这一公理.寻找不含这一公理的效用函数正是数理经济学研究的热点课题, 在这方面 ,Machina,Quiggin 等人作了大量的工作.

在现代消费者理论中，以商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m三者为自变量的效用函数形式有两类：一类是仅以消费束X为自变量的“直接效用函数”U（X）；另一类是以商品价格向量P和消费者预算约束m两者为自变量的“间接效用函数”v（P,m）。 　直接效用函数U（X）的思想是：只要消费者购买（消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量(如价格向量P)如何置定或变动），消费者的偏好或效用大小便唯一地确定。即，确定的消费束X对应确定的效用函数值U（X）。

间接效用函数v（P,m）是建立在仅以消费束X为自变量的直接效用函数U（X）的基础之上的。其思路是：只要消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者一定，消费者在PX=m约束下，最大化其直接效用函数U（X）的值，此时的最大U（X）值即是间接效用函数v（P,m）的函数值。需要特别指出的是，消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者确定，消费者最大化其效用水平的购买消费束X并不要求唯一确定（虽然大多数时候是唯一确定的），但这些不同的向量X所对应的直接效用函数U（X）的值却必须是唯一的“最大值”。

现代西方经济学关于效用函数与商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m等其他经济变量的关系，被认定为：效用函数值的大小实际上被消费者本人的消费束X唯一地确定；除消费束X之外的其他变量（如P和m）对消费者效用水平的影响，只能通过影响X间接地决定或影响效用水平。即只要消费者购买（或消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量如价格向量P如何置定或变动），其偏好或效用大小便唯一地确定。然而，实际情形并非如此。

效用函数的存在性,用数学式表示了效用函数的2个特征：效用是随着单个商品数量递增而增长的,且单个商品的边际效用是递减的同时,得出了对于效用函数,商品组合X和商品组合Y产生的效用之和大于商品组合X+Y产生的效用. 　西方经济学效用函数的存在性定理：假定消费者偏好具有完备性、自返性、传递性、连续性和强单调性，那么，存在着一个能代表该偏好的连续效用函数。

在上述假设下，西方经济学首先构造一个由所有商品的1个单位所组成的单位消费束e（e是每个分量均为1的n维实数空间Rn中的向量），然后将所有的消费束与这个单位消费束进行比较，“证明”这些所有的消费束都分别与这个单位消费束的某一个倍数是无差异的，从而可以用这个倍数来表示效用，即效用函数是存在的。

但是，西方经济学对效用函数的存在性的证明，是一种自我循环的论证。这是因为，效用函数存在性定理的那些假设条件，不是基于事实，而是基于数学证明的需要。而要满足这些假设条件，就必须事先要求效用函数的存在。事实上，如果没有效用函数的事先存在，消费者是不可能对数百万种商品的各种数量的无穷组合进行满足完备性、传递性和连续性的偏好判断的。而这正是在心理实验中发现那些事先没有设定效用函数的人们的选择缺乏传递性的根本原因。

从而西方经济学所证明的是这样一个定理：假定消费者偏好是用一个能够被数学证明其存在性的连续效用函数来代表的，那么就可以证明存在这样一个能代表该偏好的连续效用函数。

进一步地，上述存在性定理所“证明”的效用函数是连续性的，从而是基数效用，而不是非连续的序数效用。也就是说，序数效用的存在性并没有得到任何证明。而基数效用的最大问题是如何确定“效用单位”。对于一个“效用单位”到底是多少的问题，西方经济学始终没有回答。实际上，从西方经济学关于效用函数存在性的“证明”过程来看，西方经济学实际上隐含地将一个单位消费束即所有商品各消费一个单位所带来的消费效用作为一个效用单位。但是，富人是不会去吃穷人的“珍珠翡翠白玉汤”的。这种汤带给穷人的效用为正，而带给富人的效用为负。从而，穷人和富人有不同的消费集，也就有了不同的单位消费束。那么应当按哪一个消费束来算呢？尤其是对于那些财富的数量每天在变动的人，比如今天还是白领、明天就失业成为穷人的人。

实际上，如果不能确定一个单位消费束中的所有商品的一个消费单位，那么效用函数的存在性“证明”也就缺乏现实基础。此外，我们注意到两个单位消费束即2e的效用恰好是一个单位消费束e效用的两倍，ne的效用恰好是e的效用的n倍。也就是说，如果将一单位消费束看作一个综合商品，那么该综合商品的边际效用是恒定的，与西方经济学的边际效用递减相矛盾。（边际递减并不是一个适用于所有情况的法则。）

更进一步地，西方经济学仅仅“证明”了效用函数的存在性，并没有求出具体的效用函数。但西方经济学却因此获得了可以任意设定效用函数的权力。例如，我们可以从西方经济学教材中看到如下效用函数形式

u(x,y) =xy

其中，x，y分别是两个商品的消费量，U（x，y）是消费这样一个消费束给消费者带来的效用，a>0，b>0。上述并未被数学证实的效用函数形式，存在这样一个问题：考虑一个又饥又渴的人。设x，y分别代表水和面包的消费量，则上述效用函数意味着，给这个消费者一粒面包屑和无穷多的水，或者给这个消费者一滴水和无穷多的面包，都可以让该消费者得到无穷大的效用。但是，在现实生活中，上述两个消费束带给这个消费者的无穷大效用还不如两杯水加两个面包带给他的有限效用，后者更能适合他的需要。这个例子表明，西方经济学不仅滥用了所谓效用函数的存在性，甚至无法给出一个不与人们的现实感受相冲突的具体的效用函数形式。（上面的效用函数仅仅是举例。）