通径

更新时间:2024-01-17 19:04

通径(latus rectum) 亦称“正通径”、“首通径”、“直焦弦”、“主焦弦”、“正焦弦”。过圆锥曲线的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为通径,清代明安图《割环密率捷法》中,称圆的直径为通径。

椭圆的通径

定义

联结椭圆上任意两点的线段叫作这个椭圆的弦,通过焦点的弦叫作这个椭圆的焦点弦(所以椭圆的长轴也是焦点弦),和长轴垂直的焦点弦叫作这个椭圆的通径(正焦弦)。联结椭圆上任意一点与一个焦点的线段(或这线段的长)叫作椭圆在这点的焦半径,椭圆上任意一点有两条焦半径。

设椭圆的方程为

如图1,令解得则其通径的长为 ,或 (其中e为椭圆的离心率,p为椭圆的焦准距)。

椭圆的参数方程与离心率

椭圆的参数方程: 的参数方程为 ( 为参数)

说明:

(1)椭圆的长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心。

(2)若a为长半轴长,b为短半轴长, 为半焦距, 为离心率。

(3)离心率表示椭圆的扁鼓程度,离心率越大,椭圆越扁平;离心率为0时,即a=b,此时椭圆为一个圆。

椭圆的焦准距

椭圆的焦准距:焦点与相应准线的距离称为椭圆的焦准距,也叫焦参数。设p为焦准距,则:

抛物线的通径

经过抛物线的焦点,作一条垂直于它的对称轴的直线,这直线与抛物线有两个交点,这两个交点之间的线段叫做抛物线的通径。

如图2所示,抛物线的通径长显然等于。令解得故通径长为。

同样,其它形式的抛物线的通径长均为。

双曲线的通径

过双曲线的焦点双曲线的实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长,称为双曲线的通径。设双曲线的方程为如图3,令解得故其通径的长为,或(其中a为实轴长,b为虚轴长,e为双曲线的离心率,p为双曲线的焦准距)。

双曲线的、焦点弦、通径、焦半径这些概念与椭圆中的同名概念定义相同。

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